How to integrate [math]-int_0-infty-frac-(1—cos(x))-x-2-mathrm dx [/math]using complex analysis?

This can be integrated by means of Cauchy’s integral set.To this end, we take the following integration path

i.e.

[math-displaystyle -oint f(z) s.a.o.p./ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) .mathrm dz + .int_r-r-f(x) -mathrm dx + .int_C_R-f(z)

Since there are no isolated areas in this integration path, it has been

[math-displaystyle -oint f(z) -mathrm dz = .int_-R-r-r-f(x) 鈥athrm dz + ‘int_’r’r’f(x) ‘mathrm dx + ‘int_’C_’R’f(z) ‘mathrm dz=0’tag*'[/math

To solve the integral, we write it as follows

[math-displaystyle-frac-1–cos(x)-x-2-longrightarrow-frac-1-e-iz-z-2-tag*-[/math

and use the above sentence, i.e.

[math-displaystyle 0= .int_-R-r-r-frac-1-e-ix-x-2–mathrm dx – .int_-r-r-r-frac-1-e-iz-z-z-2-mathrm dz + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Now, if you run R against infinity, the post disappears via [mathC_R[/math , and only 3 terms remain

[math-displaystyle-int_-R-r-r-frac-1-e-ix-x-2-mathrm dx + -int_-r-r-1-e .iz-z-z-2-mathrm dz + ——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————–

The first term

[math-displaystyle-int_-R-r-r-frac-1-e-ix-x-2-mathrm dx-tag*-[/math

you can rewrite something if you use the following substitution

[math-displaystyle x=-u ————————————————–

changes the integration boundaries accordingly, and then replaced u with x!

So we get,

[math-displaystyle-int_-R-r-r-frac-1-e-ix-x-2-mathrm dx-longrightarrow-int_r-R-frac-1-e-ix-x-2-mathrm dx-tag*-[/math

Inserting in (1) gives

[math-displaystyle-int_-r-r-frac-1-e-ix-x-2-mathrm dx + .int_r-r-frac-1-e ix x-2- mathrm dx + .int_-r-r-r-frac-1-e-iz-z-2-mathrm dz=0 -tag*-2)-[/math

There

[math-displaystyle-cos(x) = .frac-e-ix-ix-ix-2-tag*-[/math

(2) can be used as follows

[math-displaystyle 2 -int_r-R-frac-1–cos(x-2)-x-2-mathrm dx + -int_r-r-frac-1-e-iz-z-2 -mathrm dz =0 -tag*”[/math

to summarize.Now we have to calculate the limits of (2), i.e.

[math-displaystyle 2 -lim_-R ——————————————————————————————————————————————————————————————————–鈥athrm dx + ‘lim_’r”’ ‘rightarrow’0”””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””””’

The limit of the second term in (3) can be calculated as follows.We use parameterization

[math-displaystyle z= r e-i-phi-rightarrow-mathrm dz = i r e-i-phi-mathrm d-phi-tag*-[/math

and receive

[math-displaystyle ———————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————t_-pi-2-2-i-i-r-i-phi-phi-mathrm d-phi-phi- &= – i -int_0-pi-lim_-r-rightarrow-0-frac-e-i-i-e-i-i-i-i-i-i-i-i-i-i-phi–mathrm d-phi-&=- i-int_0 .pi-lim_-r-rightarrow-0—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————– -i -int_0-pi-lim_-r-rightarrow-0-frac-i-r e-i-phi-r e-i-phi-phi-phi-mathrm d’phi ‘&= – ‘int_0” ‘pi” ‘mathrm d’phi””&=’ ‘pi” ‘end”align”tag*'[/math’

Inserting in (3) gives

[math-displaystyle 2 ————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————–

The end result is therefore:

[math-displaystyle ——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

Leave a Reply